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4 1997 - 3 2001

Grant type：Competitive

個人研究

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1998 - 2000

Grant number：10440001

Grant amount：\6100000 （ Direct Cost: \6100000 ）

For the grant period, we have carried out research on diverse aspects of symmetric pairs. A symmetric pair, in its most primitive form, is a group G together with a automorphism σ of order two. Symmetric pairs appear quite naturally in mathematics. For example, one can associate a symmetric pair to symmetric spaces by letting G be the group of isometries and σ the involution with respect to a base point. Simple Lie groups, if the base field is not of characteristic two, appear as symmetric pairs for the general linear group, with finitely many exceptions. We give a brief summary of results obtained.
(a) Extension of basic theory to the characteristic two case. We have shown that the theory for Riemannian symmetric spaces carry over ; in particular, one has the notion of Satake diagrams.
(b) Construction of a model for symmetric varieties and their compactifications over the ring of integers.
(c) Arithmetical aspects. Connections with special values of the Epstein Zeta function and families of elliptic curves have been probed.
(d) Physical aspects. Connections with the face models have been probed.

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1997 - 1999

Grant number：09640298

Grant amount：\3500000 （ Direct Cost: \3500000 ）

A direct aim of the present research project was continue our study on the restoration of isotropy of stochastic models on fractals, with emphasis on tracing the global structure of the orbits of 'renormalization group' dynamical systems.
The ultimate purpose is to find an entirely new and general method of analysis of asymptotic properties of stochastic models which contain the essence of the renormalization group philosophy which was an epoc in the mathematical physics, especially in the quantum field theories.
Main research results during the term of the present project is as follows :
1 We extended our renormalization group analysis of asymptotically one-dimensional diffusions on Sierpinski gasket to abc-gaskets and scale-irregular abb-gaskets. These are examples for which either global restoration of symmetry does not occur or lacks exact self similarity. We applied similar analysis to an anisotropic diffusion on Sierpinski carpet, which is a typical example of infinitely ramified fractals.
2 We derived chiral U(1) anomaly, a mathematical phenomena unique to quantum field theories, from first principles. This is the first mathematically rigorous proof of chiral anomaly as a continuum limit of lattice quantum field theories with Wilson terms.
3 Using a Taubelian type theorem of Y. Kasahara, we found a limit theorem on a certain weighted sum of independent stochastic variables, and applied it to an asymptotic evaluation of value-distribution of the zeta function.
4 We found new elliptic solutions to the Yang-Baxter equation for a new face with 2N-2 real parameters. We also found the intertwining relation between the face model and the ZィイD2NィエD2-symmetric vertex model of Belavin.

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1996 - 1996

Grant number：08640252

Grant amount：\500000 （ Direct Cost: \500000 ）

本研究の目的は,フラクタル特にSierpinski carpetに代表されるinfinitely ramified fractals.の上の非等方拡散の等方性の回復を調べることであった。
この問題は,フラクタル上の拡散の一意性やhomogeniz ationの問題の解決に必要な要素として知られる重要な問題であり,finitely ramified fractalに関しては著者を含めて多くの結果が得られていたが,infinitely ramified fractalsでは問題が格段に難しくなる.Fini tely ramified fractalsと同様,infinitely ramified fractalsでも等方性の完全な回復を予想するが,現時点では困難な問題であるので,パラメータについて一様な漸近的評価(弱い意味の等方性の回復)を目標とした。
前フラクタル図形(最小単位を持ち,拡大する方向に自己相似な図形)の一つ,pre-Sierpinski carpetの上の非等方拡散を考える.この拡散の漸近的性質を特徴づける有効抵抗は,非等方拡散の場合はx軸方向とy軸方向で異なり,その比が非等方性を測る一つの重要な量となる.Pre-Sierpinski carpetをSierpinski carpetに近づけていくときの有効抵抗の比が漸近的に有界であることを本研究で証明し,これによって,等方性の弱い意味での回復が証明できた.
証明は,フラクタルに特徴的な自己相似性を生かして,問題を再帰不等式に帰着させて完成した.この再帰不等式は有効抵抗を変分問題によって表現したときの試行関数を再帰的に構成することで証明した。より簡単な境界条件に対応する二つの調和関数を適切に組み合わせて,本来問題となる境界条件に対応する変分問題の試行関数を得た。

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1996 - 1996

Grant number：08640069

Grant amount：\1500000 （ Direct Cost: \1500000 ）

1.ヤコビー形式に付随したKoecher-Maassのディリクレ級数を構成し、その解析接続を得、関数等式を証明した。またヤコビー形式の空間と密接な関係にある半整数保型形式の空間のCohenのアイゼンシュタイン級数を導入し、そのSiegelの公式を求めた。半整数保型形式に付随するKoecher-Maassのディリクレ級数についても、ヤコビー形式の場合の結果を用いて、その関数等式などを得た。
2.概均質ベクトル空間のゼータ関数をアイゼンシュタイン級数の周期積分として表現することを研究し、2次形式のゼータ関数などの場合にHecke-Siegelの公式の拡張にあたるものを得た。
3.P進数体Kの上で定義され、一般化された積分で表示されたP-進関数が、解析関数であるための条件を、被積分関数とdistributionの言葉で表わした。
4.多重ゼータ値に密接に関係する多重ゼータ関数の積分表示を研究し、多重ゼータ値の間の新しい関係式を得た。

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Grant type：Competitive

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Grant type：Competitive

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