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2014年4月 - 2019年3月

資金種別：競争的資金

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2013年4月 - 2018年3月

課題番号：25400118

配分額：4940000円 （ 直接経費：3800000円 、 間接経費：1140000円 ）

ルート系に付随する多変数楕円超幾何関数を、ワイル群対称性と差分方程式を通して研究をした。代表者・伊藤雅彦（琉球大）と連携研究者・野海正俊（神戸大）は、BCn型の多変数楕円超幾何関数に対して、その差分方程式を構成する際に基本となる「補間関数」という対称関数の族を定義した。このことが、本研究を通して得られた最大の成果である。この「補間関数」を応用することで、BCn型多変数楕円超幾何関数の和公式や変換公式が証明された。

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2012年4月 - 2018年3月

課題番号：24340029

配分額：8320000円 （ 直接経費：6400000円 、 間接経費：1920000円 ）

可積分発展方程式系に対しては、様々な結合型方程式系への拡張が可能であり、それらの方程式系には多様な内部自由度をもつ解が存在する。これらの結合型方程式系とその解を体系的に研究することは、理論応用両面において重要である。本研究では、古典可積分系における双線形化法の理論に基づいて、新しい多成分結合型可積分系を構成する方法を与え、それらの方程式系に対する新しい内部自由度の相互作用を記述する解を導出して、その解の具体的な挙動を明らかにした。

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2014年4月 - 2017年3月

課題番号：26610022

配分額：2990000円 （ 直接経費：2300000円 、 間接経費：690000円 ）

繰り込み概念における基礎的な研究を行った．その中には，カペリ型恒等式の新たな研究，ベル多項式と無限変数の微分作用素，普遍包絡環の研究が含まれる．これらは，1変数のの一般座標変換の群で不変な量の基礎的研究に必要なものであり，群論的な視点及び組合せ論的な視点の交叉した場所にある．特にベル多項式の性質を無限変数の微分作用素を用いて調べることは，古典的な不変式論の「基本形式」の用い方と並行であり，普遍包絡環のような非可換環での計算を組織的に行なう上で明快な道具を供給する．

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2014年4月 - 2017年3月

課題番号：26400046

配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

面型楕円量子群U_q,p(gl_N)のL-作用素の量子行列式や小行列式を定式化し, L-作用素の量子行列式がU_q,p(gl_N)の中心元を与えることを明らかにするとともに, U_q,p(gl_N)のハーフカレントの量子小行列式による表示を導出した. また, U_q,p(gl_N)とFelderの楕円量子群の中心拡大E_q,p(gl_N)との同型の証明を完成した. さらに, U_q,p(sl_N)のレベル1表現の繋絡作用素を用いてその合成積のトレースを取ることにより面型楕円q-KZ方程式の形式的楕円超幾何積分解や重み関数を導出した.

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2014年4月 - 2017年3月

資金種別：競争的資金

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2012年6月 - 2016年3月

資金種別：競争的資金

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2012年4月 - 2016年3月

資金種別：競争的資金

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2011年4月 - 2016年3月

課題番号：23540247

配分額：4940000円 （ 直接経費：3800000円 、 間接経費：1140000円 ）

特殊関数というよい性質を持つ関数の中でガウスの超幾何関数やパンルべ関数は微分方程式の解となる，積分表示をもつ，差分関係式を持つなどで特徴づけられる．これらを一般化し統一的な方法で記述して，その本質を明確にする研究を行った．これらを一般化した一般超幾何方程式(GHGS)と一般Schlesinger系(GSS) はともにグラスマン多様体上で定義された線形，非線形微分方程式系である．GSSの解の中で，GHGSの解で表現される解があるか，どのような形で表示されるかを，Shah & Woodhouseの結果を深めることによって調べた．その副産物として準古典直交多項式との関連を見出した．

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2010年4月 - 2014年3月

課題番号：22540022

配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）

楕円量子群U_{q,p}(g)とE_{q,p}(g)を, pの形式的巾級数環上の位相代数として再定式化し, gl_n型の場合にそれらが同型であることを示した. また, B(1)_N型の場合にホップ亜代数構造を定めた. 表現論的には, U_{q,p}(g)における量子Z-代数の構造を明らかにし, 表現の既約性をZ－代数のそれに帰着させることに成功した. 多変数楕円超幾何関数に関しては, 新たにsl_n型のものが頂点-面型対応の繋絡ベクトルとその双対を用いて表せることを示した. さらに, U_{q,p}(sl_2)の表現の応用として, XXZ模型零質量相の構造因子の厳密な導出と解析を行った.

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2010年4月 - 2014年3月

課題番号：22340010

配分額：11570000円 （ 直接経費：8900000円 、 間接経費：2670000円 ）

K3曲面やアーベル曲面の場合にある種の条件下で、Bridgeland stable objects のモジュライを射影的に構成し,その双有理的性質を調べた。またそれらの結果をアーベル曲面上のベクトル束の分類問題に応用した。このほかには代数曲面の場合にドナルドソン不変量に関するWitten予想を解いた。

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2011年 - 2013年

課題番号：23654050

配分額：2080000円 （ 直接経費：1600000円 、 間接経費：480000円 ）

五角数定理とその一般化は，無限サイズの行列の組が，或る差分関係式(五角数方程式)を満たす時，その行列の跡等式として得られる．五角数方程式の内容は，二つの行列が殆ど共軛ということだが，それにも拘わらず，跡に差がでる(アノマリー)という無限サイズ特有の現象が起きるのである．五角数方程式の解を具体的に書くことで様々な興味深い等式，特にq-超幾何級数の反転公式が得られる．この背後にある，不変式論・表現論，及び，非可換世界を明らかにすることで，超幾何の地平を拡げた．特に，一見あきらかでない対称性を双対性(dual pair)の視点から取り出し，群論的機構を追究した．

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2007年 - 2010年

課題番号：19340039

配分額：9490000円 （ 直接経費：7300000円 、 間接経費：2190000円 ）

パンルヴェ系と呼ばれる2階の可積分な非線形微分方程式・差分方程式の族の理論を,系のアフィンワイル群対称性や代数幾何学的構造を駆使して構築した.その枠組みを用いて,解として現れる超幾何函数の系列を全て決定するなど,解に関する詳細な研究成果を得た.また,パンルヴェ系の理論の高階・高次元化への一般化を行った.さらに得られた結果にもとづき,離散ソリトン系,離散微分幾何,可解カオス系,トロピカル幾何,複素力学系,ランダム行列などさまざまな分野へ理論を展開した.

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2007年 - 2009年

課題番号：19540033

配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

面型楕円代数U_<q,p>(AN^(1))にホップ亜代数構造を導入して,これを楕円量子群として定式化した.この構造に基づいて,無限次元ダイナミカル表現の繋絡作用素を定式化し,準ホップ代数構造を介して得られていた結果との整合性を確認した.また,ドリンフェルト多項式のテータ関数類似を定式化し,それによって有限次元既約ダイナミカル表現が一意的に特徴付けられることを示した.N=2の場合に,有限次元ダイナミカル表現のテンソル積表現に対するClebsch-Gordan係数の楕円関数類似を導出し,それが楕円超幾何級数_<12>V_<11>によって与えられることを示した.

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2006年 - 2009年

課題番号：18340010

配分額：17110000円 （ 直接経費：13900000円 、 間接経費：3210000円 ）

Donaldson型不変量に関し壁超え公式と爆発公式を示した。またK理論的類似を定式化し壁超え公式を得た。フーリエ向井変換と安定性の関係について研究し、満足できる関係を得た。またその応用としてアーベル曲面上の安定層のモジュライの構造を調べた。

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2009年

資金種別：競争的資金

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2005年 - 2008年

課題番号：17340046

配分額：8700000円 （ 直接経費：7800000円 、 間接経費：900000円 ）

量子力学系の性質を定量的に記述することは一般には困難であるがその中で完全積分可能系と呼ばれるクラスに関しては多少とも詳しい記述が可能であると思われている. これまでの研究の多くはそのような系をある種の無限次元代数系の表現論と関連づける形でなされてきている. 本研究においてはそのような関連をほかの諸分野, たとえばフックス型微分方程式の理論などと関連づけるなどにより拡げることにより幅広い手法の適用可能性を示した

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2004年 - 2007年

課題番号：16340039

配分額：8770000円 （ 直接経費：8200000円 、 間接経費：570000円 ）

非可換変数の特殊函数論という視点は,古典的不変式論とその現代版である双対性(dual pair)の,深い理解のために設定した枠組みであるが,その基礎は表現論である.本研究は,この特殊函数論,不変式論,表現論という,互いに連関する立場を,非可換性のもと,新たな光を投げかけるべく計画された.ここで,普遍包絡環の中心とその表現というCapelli恒等式が,研究の中心に置かれるが,非可換性によって生じる「可換理論」とのズレが,非可換特殊函数という新たな局面を産み出しているという認識の下,可換世界の背後にも非可換の影があるという現象について,考察を深めた.
特に,究極のCapelli型恒等式の定式化を,非可換指標公式と見なし,そのために非可換成分の行列要素の扱いと,誘導という概念の一般仮,記号的方法,母函数の方法を融合するというプログラムを実行に移した.それはまた完成してはいないが,Capelli型恒等式に対していくつもの成果をあげた.
その一つは五角数公式を無限サイズの跡等式として捉える視点が,実はq-超幾何級数の和公式でもあるという発見で,これはいままで知られていなかった,表現論と不変式論のつながりを無限次元を通じて見出す手掛かりとなるであろう.
また非可換性を扱うに適切な形式変数の環の発見(伊藤稔)は上記の計画を大きく推進させた.

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2007年

資金種別：競争的資金

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2007年

資金種別：競争的資金

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2007年

資金種別：競争的資金

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2003年 - 2006年

課題番号：15340057

配分額：8800000円 （ 直接経費：8800000円 ）

1.(A_2+A_1)^<(1)>型アフィンワイル群対称性を持つq-パンルヴェIV方程式の対称形式の理論を拡張し,q-KP階層を定式化した.また,その相似簡約によって(A_<m-1>+A_1)^<(1)>型アフィンワイル群対称性を持つ階層を,さらにその拡張として(A_<m-1>+A_<n-1>)^<(1)>型アフィンワイル群対称性を持つ離散力学系の階層を構成した.
2.2階のパンルヴェ系の頂点に位置する楕円パンルヴェ方程式とその拡張に対して理論的定式化を与えた.すなわち,時間発展とベックルント変換を射影空間上で一般の位置にある点の配置空間に対するクレモナ変換として定式化し,それをτ函数のレベルでテータ函数によってパラメータづけられた双有理変換として実現した.また,時間発展を動く平面3次曲線のペンシル上の加法として定式化し,それを用いてパンルヴェ微分方程式のハミルトニアンの幾何学的意味を明らかにした.
3.2の定式化を応用して楕円パンルヴェ方程式および2階の全てのq-パンルヴェ方程式に対して超幾何解を具体的に構成し,楕円超幾何函数_<10>E_9からq-エアリ函数に至る超幾何函数の退化図式を完成させた.いくつかの場合にはより複雑な超幾何解や有理解の行列式表示を与えた.
4.パンルヴェ第VI方程式の代数幾何学的定式化と代数曲面上の双有理写像のエルゴード理論をリーマン・ヒルベルト対応により結びつけ,パンルヴェ第VI方程式の非線形モノドロミーがほとんどすべてのループに沿ってカオス的であることを明らかにした.
5.パンルヴェ微分方程式の解のハンケル行列式表示の要素が補助線形問題の解の比の漸近展開係数として現れるという現象が普遍的であることを示し,それがKP階層の構造に起因するものであることを明らかにした.
6.以上の結果を踏まえ,超離散および離散戸田方程式に対しても新たな拡張や新しい解の構成を行った.

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2003年 - 2006年

課題番号：15340004

配分額：13400000円 （ 直接経費：13400000円 ）

研究分担者の一人である野海正俊のグループ(神戸大学理学部)は楕円差分パンルベ方程式を研究した.この方程式は坂井のパンルベ方程式の分類に現れるもっとも一般的な方程式Master Equation(親玉)である.彼らはこの方程式のRiccati解に楕円超幾何関数が出現することを示した.この結果は近縁のパンルベ方程式研究のなかで最も輝かしい研究成果の一つと言える.
本研究の最も重要な主題の一つは無限次元微分ガロア理論である.研究代表は1996年に新しい無限次元微分ガロア理論を提案した.一方Malgrangeはこの研究に刺激を受けて,2001年に別の無限次元微分ガロア理論を提出した.
梅村の理論は微分拡大体のガロア理論である.すなわち,微分体の拡大L/Kが与えられたとき,その一種のガロア閉包を構成し,その無限小自己同形群として与えられた微分拡大L/Kのガロア群を定義する.他方Malgrangeの微分がアロア理論は多様体上の葉層のガロア理論である.すなわち,多様体上に葉層が与えられたとき,そのリー環が葉層に接するベクトル場全体を含む最小の代数的リー擬群を,その葉層のガロア群と定義する.
これら二つの定義は一見関連がないようにみえるが,専門家たちは実例を計算すると,両者が一致するのを観測していた.ここ数年の最も著しい成果は,絶対的な体の拡大L/Kの場合(基礎体KがLの定数体に含まれる場合)二つの定義が同値であることを示した.絶対的とは限らない場合にも同様の結果が成り立つことが期待されるが,微妙な問題もある.例えば一般の場合にMalgarange流の葉層によるガロア群の定義は厳密になされていない.また微分形式を用いた計算にも問題がある.微分ガロア理論では様々な計算が,厳密でない基礎の上に成されている.これらの計算を厳密で明解な基礎の上に打ち立てるのが急務であろう.

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2003年 - 2005年

課題番号：15340006

配分額：10200000円 （ 直接経費：10200000円 ）

平成15年度〜17年度にわたり採択された本研究課題について私ならびに研究分担者は優れた数学雑誌に14の論文を発表した。また、研究集会を自ら組織するとともに研究遂行上必要な打ち合わせのため、国内外の研究集会に参加した。討論や共同研究は定期的に行った。
15年度の主なものとして、私とGuest氏(首都大学東京)が組織した国際ワークショップ「Quantum Cohomology」(於:京大数理研6月実施)があげられる。このワークショップにはこの分野での著名な数学者中島啓氏(京都大・理学研究科)、齋藤恭司氏(京都大・数理研)、B.Kim(S.Korea)、A.-L.Mare(Canada)、A.Buch(Sweden)をはじめ国内からもおよそ50人の参加者があった。
16年度の主なものとして、私と野海氏(神戸大)が組織した国際ワークショップ「Tropical algebraic geometry and tropical combinatorics」(於:京大数理研8月実施)があげられる。このワークショップには「トロピカル数学」において世界をリードする数学者、A.knutson(UC Berkeley, USA)、E.Miller(Univ.ofMinnesota, USA)、G.Mikhalkin(Toronto Univ., Canada)、D.Speyer((UC Berkeley, USA)、O.Viro(Uppsala Univ., Sweden)、柏原正樹(数理研)、尾角正人(阪大)、山田泰彦(神戸大)をはじめとして約60名の参加者があった。
両ワークショップともに盛況で日本におけるトロピカル数学と量子コホモロジーに対する関心を高めることとなった。
その他、中国南海大学での国際ワークショップ「Combinatorics, Special Functions and Physics」に招聘され、講演を行った。
本研究課題の主目標の一つである放物型コストカ多項式については一般化されたsaturation conjectureを証明した他、放物型コストカ多項式やSchur関数の新しい興味深い性質を示した。
Schubert Calculusと非可換微分法の関係についてはいくつかの重要な結果が、私と前野氏によって示された。特にある種の非可換代数多様体に対し平坦接続の生成する代数を記述することに成功しB_n型非可換Schubert多項式のMonk公式を証明した。

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2002年 - 2005年

課題番号：14204012

配分額：48490000円 （ 直接経費：37300000円 、 間接経費：11190000円 ）

本研究課題「パンルヴェ方程式の数理」の目標は、パンルヴェ方程式とその多変数化であるガルニエ系を対象として、それらに関係する数学を多面的かつ総合的に研究することである。詳しく述べれば、パンルヴェ方程式の研究を解析的手法、幾何学的手法、代数的手法を総合的に駆使して推進し、パンルヴェ方程式の研究をプロットタイプとして、ガルニエ系や離散パンルヴェ方程式、q-パンルヴェ方程式等、より幅広い完全積分可能系の研究に発展させること、である。解析的手法に関しては、パンルヴェ方程式の解の解析的な振る舞いについて、最近の研究により新しい展開が期待できるが、この点で進捗があった。パンルヴェ方程式の初期値空間に対応するガルニエ系の幾何学的な構造、具体的にはガルニエ系の初期値空間を構成についての成果が幾何学的手法による研究である。さらに、パンルヴェ方程式のベックルント変換すなわち双有理正準変換を拡張しガルニエ系の双有理正準変換を実現に向かって一歩を進めた。
本研究課題の開始時に明らかになりつつあった、パンルヴェ方程式の代数変換(初期値空間の折り畳み)の構造については、ほぼ最終的な結論に到達したと確信している。その結果は次ページに挙げた論文にまとめ、公表した。また、初期値空間の構造に注目した坂井の研究に依れば、パンルヴェ方程式はその退化型まで含めて8つの型を察することが自然である。研究代表者がこれまで研究してきた結果を補填するため、すべてのケースについての結果を共同研究によりまとめたものを次ページに挙げておく。
なお、本研究課題を通してステクロフ数学研究所(ロシア)、アレクサンダー・キタエフ(Alexander KITAEV)氏の協力を得た。同氏のパンルヴェ方程式の特殊解に関する研究は若手を中心に我々に良い刺激と影響を与えた。

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2005年

資金種別：競争的資金

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2005年

資金種別：競争的資金

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2005年

担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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2005年

資金種別：競争的資金

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2004年 - 2004年

課題番号：16634003

配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

離散可積分系研究の現状に関して,以下の新しい展開があることがわかった.
(1)離散パンルベ方程式系が生物・疫学の数理モデルに応用され始めている.
(2)多成分シュレディンガー方程式系の離散化が成功し,そのソリトン解や超離散化についての研究が進展している.
(3)QRT写像など離散可積分写像の楕円曲線等を用いた幾何学的な意味づけがなされ始めた.
(4)パデ近似などの数値計算アルゴリズムと離散可積分系対応が明確になってきた.
(5)逆超離散化の手法がほぼ確立された.
(6)有限体上のτ函数の研究が進展した.
(7)幾何クリスタルが組合せ論的R行列との対応の観点から研究されてきた.
以上の新展開を考慮して,2006年秋に東京(東京大学・大学院数理科学研究科)において国際研究集会を開くことを決定した.
国外からの招待講演者として,S.Carstea(INPE, Bucharest),C.Gilson(University of Glasgow),B.Grammaticos(Universite de Paris VII),J.Hietarinta(University of Turku),J.Nimmo(University of Glasgow),A.Ramani(Ecole Polytechnique),T.Tamizhmani(Kanchi Mamunivar, Pondicherry)を候補者と決定した.
国内からは,太田泰広(神戸大),國場敦夫(東大),坂井秀隆(東大),高橋大輔(早稲田大),松木平淳太(龍谷大)を招待講演の候補者と決定した.
また,国内からは数名の講演とポスターセッションとして十名程度の講演を募集することを決めた.

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2001年 - 2004年

課題番号：13440054

配分額：10300000円 （ 直接経費：10300000円 ）

当該研究期間に得た成果の主なものを記す。
1.当研究課題の直接的目標であった2変数ガルニエ系と退化ガルニエ系の定義多様体を構成した。各系を5の分割Jで表すと、系Jの定義多様体は2|J|+3個の座標近傍とそれらの間の貼り合せで記述される(|J|はJの長さ)。そして各座標近傍において、各系は正準変数の多項式をハミルトンニアンとする正準方程式で表される。また、A_4^<(1)>型の野海・山田系に対しても相空間の拡張を行った。
2.パンルヴェ方程式のベックルント変換を方程式の定義域を拡張するものと見なして、すべてのベックルント変換を用いて可能な限り定義域を拡張すると、それは岡本が構成した定義多様体(初期値空間を束ねたもの)に一致するということを示した。
3.各パンルヴェ方程式に対して定義されているベックルント変換群の間に、良く知られている合流操作(退化操作)が整合的に働くこと、すなわちパンルヴェ第VI方程式のベックルント変換群から、合流操作が定める簡単な形式的計算によって、他のパンルヴェ方程式のベックルント変換群が得られることを示した。
4.パンルヴェ第VI方程式の非線形モノドロミーをモジュラー群のアフィン3次曲面の4パラメータ族への保測的な作用として具体的に書き下した。
5.パンルヴェ第VI方程式の相空間(初期値空間)からモノドロミー表現のモジュライ空間へのリーマン・ヒルベルト対応についての詳しい結果を得た。著しいものは、ベックルント変換群の特徴付けである。すなわち、リーマン・ヒルベルト対応が、アフィン・ワイル群W(D_4^<(1)>)を被覆変換群とする被覆写像となっていることを示した。

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2000年 - 2002年

課題番号：12440008

配分額：16100000円 （ 直接経費：16100000円 ）

本科学研究費の研究期間において,主に下記のテーマについて研究を行い,主に次の結果をえた.
1.カラビ・ヤウ多様体のグロモフ・ウイッテン不変量とBPS不変量・Gopakumar-Vafa予想:細野・齋藤・高橋はCalabi-Yau 3-foldの純次元1の連接層のモジュライ空間を用いてBPS不変量の数学的な定義の候補を与え,Gopakumar-Vafa予想を用いて特殊な場合ではあるが現在までのGromov-Witten不変量の具体的な計算と,その定義が整合的であることを確かめた。
2.ホモロジカルミラー対称性と導来圏の幾何学:細野は,K3曲面の場合のホモロジー論的ミラー対称性を調べた.深谷は,ホモロジカルミラー対称性をFloerホモロジーとLagrangian部分多様体の立場から研究し,特にA_∞カテゴリーのホモロジカル代数についての統一的な研究を行った.
3.パンルベ方程式の初期値空間の代数幾何学・岡本・パンルベ対の変形理論:齋藤は,パンルベ方程式の初期値空間とそのBacklund変換を,高次元代数幾何学の立場から見直し,Backlund変換等の種種の性質を幾何学的に書き直す事を行った.初期値空間の一般化である岡本・パンルベ対の概念を導入して,その分類を行い,変形理論を援用し微分方程式を変形理論の言葉で完全に書き直せる事をしめし,またパンルベ系がハミルトニアン系で書けることの内在的証明をえた.
4.Painleve方程式とその拡張についてのLie理論的研究およびその離散化:研究分担者の野海と山田はPainleve方程式の対称性(Backlund変換)を見直し,アフィンWeyl群・アフィンLie環の観点からPainleve型非線形方程式に新しい視座を与えた.さらに研究は進展し,パンルベVI型方程式の新しいLax形式系の発見高野恭一との共同研究により,初期値空間の局所座標系とアファインワイル群との関係を研究した.
5.ベクトル束のモジュライ空間とその対称性:吉岡は代数曲面の上のベクトル束のモジュライ空間について研究を行い多くの成果をえた.
6.不変式論の新たな展開:向井は永田の反例について,新しい解釈と構成を行った.

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1999年 - 2002年

課題番号：11440047

配分額：12300000円 （ 直接経費：12300000円 ）

野海と山田は,アフィンワイル群の観点からパンルベ(型)微分方程式の系統的な一般化を与えた.この成果は野海の著書にまとめられ,この方面の研究を多いに活性化した.パンルベ6型方程式についても,新しいラックス形式を発見した.また,パンルベ方程式に現れるアフィンワイル群の双有理表現が,ルート系に関して普遍的構造をもっていることを示し,ガウス分解に基づくリー環論的な背景も明らかにした.さらに,得られたアフィンワイル群の双有理表現は,タウ関数にまで持ち上げが可能であり,タウ関数について,アフィンリー環の表現行列としての意味と,差分系的パンルペ性(正則性)が確認された.また,この構成から,与えられた表現がドリンフェルト・ソコロフ方程式系の相似簡約により得られるパンルベ型方程式の対称性を与えていることも明らかになった.一方で,アフィンワイル群を対称性にもつ離散可積分系について,梶原・野海・山田はq-パンルベ4型方程式とその特殊解を考察した.さらに,その拡張として,W(A^<(1)>_<m-1>×A^<(1)>_<n-1>)のアフィンワイル群の双有理表現を構成し,離散パンルベ方程式との関連を考察した.得られたアフィンワイル群の双有理表現は,トロピカル(=全正値)な表現であり,超離散化により超離散ソリトン系および可解格子模型(のクリスタル極限)と直接つながるものであることが判明した.野海・山田は,こうした表現の組み合わせ論的応用を示した.関連して,q-KP方程式とその多項式解に関する1つの定式化を与えた.増田等は(q-)パンルベ5,6型方程式の特殊解の行列式表示を与えた.高野・野海・山田は初期値空間の局所座標系とアファインワイル群との関係を示し,齋藤はパンルベ方程式の初期値空間の代数幾何学的特徴付けを与えた.以上の様に,本研究課題は,ほぼ全ての研究目標について満足すべき成果を得た.

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1999年 - 2002年

課題番号：11440006

配分額：14500000円 （ 直接経費：14500000円 ）

1.Painleve方程式と特殊多項式.
我々はPainleve方程式が特殊多項式を生成することを発見し、Painleve方程の発見の動機からすれば意外にもPainleve方程式が組み合わせ論的な側面を持つことを発見した。特殊多項式の組み合わせ論的な性質に関する幾つかの予想を提出し,これらを証明した。
2.Painleve方程式の対称性による定義と一般化.
野海はこれらの予想は自然な枠組みのなかで証明されるべきであると考え,対称性,すなわちBacklund変換からPainleve方程式を見直した.その成果はLie環論的な視点からのPainleve方程式の一般化となった.これはPainleve方程式のまったく新しい定義であり,R.Fuchsの発見に劣らぬ価値を持つものであると考えられる.この枠組みの中で,野海と山田はUmemura多項式を1-cocyleとして一般化し,それらが多項式であることを示した.
3.有理2重点の変形とBacklund変換.
我々は有理2重点の変形かPainleve方程式のBacklund変換が生じることを示した.2で述べた野海によるPainleve方程式の一般化とSpringer-Grothendieck-Brieskorの仕事とを結び付けるのは今後の課題である.
4.無限次元微分Galois理論とPainleve方程式
我々の提唱した無限次元微分Galois理論をPainleve方程式の定義に応用した。

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1999年 - 2001年

課題番号：11440043

配分額：9600000円 （ 直接経費：9600000円 ）

特殊函数の背後に潜む対称性の見地から、それらの特性を追求し深化させることを主要な目的とし、特に表現論と不変式論の新しい視点を研究にとり入れ成果を得た.その中でもdual pair理論を軸として、不変微分作用素の表現論的解明に役立つCapelli恒等式、非可換調和振動子、Selberg跡公式とを一方の主要な研究対象として新たな知見を得た.又超幾何函数、Pairleve方程式の背後にある対称性からdual pairともかかわって興味深い.
Capelli型恒等式としては行列式型だけでなくパーマネントやパフィアン等の行列函数に対応するものも得られ、さらに別種のものとして群行列式にかかわるものへと発展している.これらにかかわる不変式論的背景は球函数の等式ともつながって、一見ばらばらに見える対象たちを強くむすびつけていることが明らかになってきた.

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1998年 - 2000年

課題番号：10440058

配分額：9200000円 （ 直接経費：9200000円 ）

本研究における研究実績は多様であるが、研究課題と直接関係するものを3項目にまとめる。
1.パンルヴェ方程式の対称性:本研究課題のもとでこの期間にもっとも進展した分野である。岡本和夫が80年代前半に見付けたパンルヴェ方程式のBacklund変換群(アフィンWeyl群の実現)に関する見通しの良い理論が構築された。この理論は単に岡本の結果を整理しただけのものではなく、パンルヴェ方程式の特殊関数論に有効な手段をも与えた。例えば、このBacklund変換がτ関数にまで自然に持ち上がるので、パンルヴェ方程式に付随して登場する種々の特殊多項式の生成が容易に行えるようになり、また変換自体は複雑な有理変換であるが必要な変換を求めることは極めて容易となった。この理論はいわゆる離散パンルヴェ方程式にも有効で、その方面の研究が現在進行中である。
2.初期値空間:パンルヴェ方程式、高階パンルヴェ方程式あるいは多変数パンルヴェ系(ガルニエ系)の解全体を幾何的に捉える初期値空間の研究に進展があった。もともとのパンルヴェ方程式(第1パンルヴェ方程式を除く)の初期値空間がBacklund変換群を用いて記述されることが分かった。これより直ちにBacklund変換でうつるパンルヴェ方程式の初期値空間はすべて同型という事実が得られた。高階パンルヴェ方程式、2変数退化ガルニエ系の初期値空間(と確信されるもの)の構成も進んだ。これがどのような意義をもつものかの検討は今後の課題である。
3.パンルヴェ方程式の解析:完全WKB解析によるパンルヴェ方程式の研究が進展した。もともとは線形方程式に対して適用されてきたWKB解析を、外から大きなパラメータを導入されたパンルヴェ方程式に適用したものである。接続関係式における主要項が見事に求められた。この解析では第1パンルヴェ方程式が最もgenericなものであり、第2以上の解析にはバーコフの標準形への変換定理を用いる。

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1997年 - 1999年

課題番号：09440020

配分額：9800000円 （ 直接経費：9800000円 ）

Gaussの超幾何函数の良い多変数化に向けて、ルート系に付随する超幾何函数と複素積分の研究の二つのながれを統一的に把握するのが本研究の目的であった.この研究を遂行するための、より具体的なテーマは1.de Rham理論の研究:おもにA型の球函数の積分表示としてあらわれるSelberg型積分に付随するホモロジー、コホモロジーの代数幾何・複素解析幾何・位相幾何学研究、2.Hecke環等の代数系の表現と複素積分の関係:上述のホモロジー、コホモロジーにおけるAffine Hecke環や量子群の表現の実現などの研究、3.Painleve微分方程式への応用:Painleve方程式にあらわれる興味深い特殊多項式の本性を定める、4.数理物理への応用:Calogero系などの可積分系における解の積分表示の研究や可解格子模型、2次元共形場理論における相関函数の解析等.
これらに関し、研究代表者は主に1および2で、分担者花村は2で、分担者野海及び山田は3で成果をあげた.協力者松井卓には4における相関関数の研究、協力者落合啓之には2における表現論的側面および4におけるCalogero系の研究、協力者若山正人には2の表現論的側面の支援、協力者加藤文元には1のde Rham理論における数論への応用という点で、本研究推進に貢献した.
次期の研究計画に繋がるものとしては、積分に付随するサイクルの研究を開始した.研究計画調書作成時からの長い懸案がようやく着手出来るようになったということは、ここに記しておくべき事であろう.
いずれにせよ、3年間に得られた成果という点では合格点が得られたものと自負している(各人の論文リストを見れば明らかなように、本研究の成果は上質な雑誌に且つ多数掲載されている).これらを有効に生かして、今後の研究をさらに推進した.

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1997年 - 1999年

課題番号：09440015

配分額：12900000円 （ 直接経費：12900000円 ）

平成11年度においては、研究代表者は引続きミラー対称性予想の観点からカラビ-ヤウ多様体のグロモフ-ウイッテン理論におけるA-モデルおよび、B-モデルの計算および比較を行った.とくに有理楕円曲面がカラビ-ヤウ多様体の中に入っている時にその中に含まれる高い極数の曲線の数え上げに関して、細野忍、高橋 篤と共同でプレポテンシャルの満たすべき正則異常方程式を定式化し、1切断ではあるが一般極数の場合にプレポテンシャルの一般系を保形形式で書ける事を確かめてその正則異常方程式との整合性を確かめた。平成11年度は、California大学のGiventahl教授を京大数理研に招いて、レビューおよび研究討論を行った。研究分担者の野海正俊と山田泰彦はPainleve方程式の対称性(Backlund変換)を見直し,アフィンWeyl群・アフィンLie環の観点からPainleve型非線形方程式に新しい視座を与えた.研究分担者の吉岡康太はK3曲面の上のベクトル束のモジュライ空間が多くの場合に既約超ケーラー多様体になることを示した.またその周期を計算した.研究分担者の佐々木 武は,印付き3次曲面のモジュライ空間上定義された微分方程式の解を用いた一意化が複素単位球になる事を,吉田 正章と示した.また関連して,E6対称性を持つ、4変数の微分方程式系について解析を行った.以上の結果は下記の学術論文に発表されたことを付記しておく。

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1998年 - 1998年

課題番号：10894005

配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

1. 調査研究の基本は神戸大学所属の分担者間での討議からはじめた。佐々木は幾何学に現れる可積分系のG.Darboux以来の歴史と日本とロシア・ドイツにおける研究の中心をまとめ、高野はパンルヴェ方程式の幾何構造の研究状況について、さらに野海は表現論と超幾何系の関連・パンルヴェ方程式の代数構造の問題・ヨーロッパにおける研究の現状について検討し、2つの調査研究会を開くこととした。1つは上記3者の主催する会議「超幾何系ワークショップin Kobe,98-幾何学・可積分系・パルヴェ系」(神戸大学滝川学術交流会館、1998年12月1日-4日)において、全国から90名の参加で超幾何系、パンルヴェ系、可積分系と幾何学について21個の報告を受けた。また、分担者宮岡と大仁田は「Hamiltonian Systems in Differential Geometry」(甲府市、1999年2月11日-13日)を開催し、平均曲率一定曲面、射影微分幾何における可積分系、周期的戸田方程式とループ群の量子コホモロジー、完備極小曲面のモジュライ空間上の微分幾何、等径超曲面の等質性にいたる可積分系の手法の解説等をおこなった。
この会議に関連して、野海は「表現論ワークショップ」(アムステルダム)に講演及び研究視察に渡航する一方、ロシアの微分幾何と可積分系の研究状況に詳しいE.Ferapontov(Landau研究所)を招聘し(1999年1月30日-2月14日)、北海道大学での研究集会「Schwarz微分をめぐって」において連続講演を行い、上記甲府での研究集会において微分幾何と可積分系の諸問題について報告を行った。
これらの幾何と可積分系をめぐる新しい動向は、超幾何系研究者・微分幾何の研究者に加え、表現論や代数の分野からも興味を呼び、2000年には第9回日本数学会国際研究集会を開催することとなり、この企画調査はその準備に有益な寄与をしたと考える。
2. なお、研究課題に関連して代表者及び分担者の得た新しい結果の主要なものは次の通りである。
● 3次曲面のモジュライを4次元球の商空間として実現する線形微分方程式の具体形を求めたこと(佐々木・吉田)
● 等径超曲面の等質性についての最終的解決(宮岡)● アフィンWeyl群の表現に基づいてPainleve型差分系の系統的な構成法を与えたこと及びA型アフィンWeyl群がBaklund変換群として作用するような,高階Painleve微分方程式を構成したこと(野海)

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1998年 - 1998年

課題番号：10894003

配分額：2600000円 （ 直接経費：2600000円 ）

本企画調査の目的は「弦理論」と深く関わりある幾何学、特にシンプレクテック幾何学および代数幾何学等の諸分野において弦理論の新しい進展を取り入れながら21世紀の空間概念の創造の為の数学的基礎付けの為の研究を立ち上げる準備をする事であった。特に、深谷・小野のグロモフ・ウイッテン不変量および量子コホモロジー環のシンプレクテック幾何学的基礎付け、齋藤・細野・前野らのミラー対称性の研究や代数多様体の量子コホモロジーの具体的決定、上野・清水の共形場理論とヴイラソロ代数およびリーマン面のモジュライの幾何等の研究を踏まえて、国内外の研究者を巻き込んだ研究体制の構築の方法を調査研究した。この観点から平成11年度に京都大学数理解析研究所において「弦理論に関わる幾何学」という国際共同研究プロジェクトの採用が決定し、本企画調査の研究分担者が中心となり組織していく事が決定しており、その具体的企画調査を行なった。主な具体的企画調査については次の通り。
1.細野が1998年7月26日から2週間、Canada,Kingstonに滞在し齋藤とクイーンズ大学の由井典子教授にその時点までの企画についてレビューを受け同時に国際的共同研究の可能性について情報収集および調査をした。
2.1998年11月兵庫県城崎代数学シンポジュムにおいては、深谷および細野が研究発表を行なうとともに,数研プロジェクトの計画について議論した。
3.1999年1月北海道大学にて、数研プロジェクトの企画会議および最新の研究情勢の報告会をおこなう。
4.これ以外にも、齋藤、清水、細野、深谷、小野は不定期に企画会議および情報交換を行なった。この企画調査の結果として、数理研プロジェクトにおいて2件の国際研究集会および、3件の短期共同研究(ワークショップ)の企画が決定し現在その準備を行なっている。

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1997年 - 1998年

課題番号：09874010

配分額：2200000円 （ 直接経費：2200000円 ）

本研究では,自己学習型の数式処理系の設計・開発を目標としつつ,数学研究の現状に照らし合わせて,その支援のための数式処理系のあり方についての検討を行った.その要点は,(1)無限個の変数や非可換な変数を含む数式処理の実際的研究と,(2)複数の数式処理システム間で数式データを相互にやりとりするためのプロトコルの問題,の2点である.
研究代表者は,主に(1)を担当し,非線形の可積分な微分・差分方程式系と,Lie環とWeyl群の表現の研究における数式処理の実践を通じて,無限変数の問題の雛形として微分多項式のグレプナ基底について,また非可換変数の問題の雛形としてCoxeter群の数式処理について,実際的アルゴリスムの検討を行った.その成果についてはもう少し完成度を高めた上で公表したい.研究分担者は主に(2)を担当し,分散数式処理系のプロトコルである,openXMの設計と実装を行い,Risa/AsirとKan/smlの間で数式処理系のネットワークを実現した.当初の研究課題の実現には未だ遠いが,そのための第一歩を踏み出すことができたと思う.

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1997年 - 1997年

課題番号：09894001

配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

本企画調査の目的は、「超幾何系」の新分野を組織し、重点領域の領域申請のための企画調査を行うことであった。研究代表者は、「多変数超幾何函数に関連する諸問題を現在の観点から再編統合し、『超幾何系』の研究分野を組織して、21世紀の自然科学及び工学への新しい基盤を提供する」ことを目的として、各研究分担者とともにその方法についての具体的な検討を行い、平成9年11月に、「平成10年度発足特定領域」として「超幾何系の理論-数学新時代へのプラットフォーム」の領域申請を行った。これによって本企画調査の第一の目的は達成された。
申請中の特定領域研究(B)「超幾何系の理論」は、総括班と4つの計画研究
(ア)配置空間の幾何と超幾何函数による一意化
(イ)代数多様体の周期と量子コホモロジー
(ウ)超幾何積分のde Rham理論
(エ)D加群と表現論の観点からの超幾何系
からなり、基幹部分として配置空間と代数多様体の族に対する超幾何系のモジュライ理論の研究を、また基礎理論としてD加群と表現論からの代数適研究と超幾何積分の大域構造の研究を行い、これによって数理物理、数理工学、情報科学等への新しい応用を開くことを目指すものである。3つの拠点である神戸大学・九州大学・東京大学を「仮想超幾何系研究センター」として連携し、研究の機動的な体制をとることをその骨子とした。
この間、特定領域の申請準備とともに、研究分担者間で、「超幾何系」の有機的な研究体制を整えるための検討を行った。また平成9年12月に神戸大学に於いて「超幾何系ワークショップinKobe」を開催し、超幾何系の研究分野の研究動向の確認と、関連分野の有機的な連携のための討論を行った。

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1996年 - 1996年

課題番号：08640200

配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

正則函数の芽のなす層Oを係数とするコホモロジー群の消滅と Stein性の研究に関連して,まず次の問題を考えてみた。複素n次元空間内にある領域Dにおいて,Cousin-I 問題が解けることと1次元コホモロジー群H^1(D,O)=0となることは,同値であろうか?この問題は現在までも解かれていない。そこで、この問題に関連して,次の問題を考えてみた。ある領域Dにおける自明でない正則コサイクルα∈H^1(D,O)で,有理型コサイクルμ(α)と見てもH^1(D,m)内で自明でないものが存在するだろうか?
本研究において、まず上の問題について,肯定的な解答を得た。すなわち,複素2次元空間より原点をぬいた領域をDとし,Dにおける正則コサイクルとして,α={exp(11/(ZW)}をとると,αは正則函数に依って分解されないばかりか,有理型函数に依っても分解されないことが分る。証明の要点は、次のことである。Dでは,Thullenに依れば,Cousin-II問題が常に解けること,さらに,係数の比較より定まるある無限次の連立方程式が自明な解しか持たないことを示すことである。
次に,複素射影空間内のStein領域の在り様を明らかにする為に,次の様な問題を考えてみた。2次元複素射影空間より代数曲線をぬいたStein領域をDとするとき,代数曲線の次数が3でなければ,Dから複素2次元空間へのはめ込みが存在しないことが知られているが,3次のとこは,曲線が尖点をもつときは,はめ込みの存在が知られていた。ここでは,非特異3次曲線について,はめ込みの有無を研究した。その結果,4次元空間への埋蔵等いくつかの結果を得た。
その他,関連研究として,フェルマ-曲線上のワイエルシュトラス点についての,いくつかの知見を得た。

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1996年 - 1996年

課題番号：08640035

配分額：1600000円 （ 直接経費：1600000円 ）

保型形式の研究において、種々の形のフーリエ展開(周期)や保型的L関数との関連で、球等質空間の球関数の重要性が認識されてきた。本研究では、主に一般線型群の球部分群に対する球関数を中心に研究した。今後は、メタプレクティック群への拡張、整数論への応用などを研究したい。この問題を議論するために定期的にしたセミナーを開催した。さらに分担者と協力して、以下のような研究を行った。
・量子対称空間上の、有限次元表現に付随する、球関数を調べ多くの場合これらがルート系に対応するマクドナルド多項式を用いて記述されることを示した。またA型のルート系に付随するマクドナルド多項式の列型の昇降演算子(生成消滅演算子)を与えた。(野海)
・超幾何関数の研究において、ツイストホモロジーやツイストコホモロジーの交点数の計算が重要であるが、高階の場合にこれらの計算方法を開発した。グレブナ-基底・整数計画法の応用として超幾何級数に対する生成作用素を計算する方法を与えた。(高山)
・四元数体上のユニタリー群の主合同部分群に付随する2次の数論的(ジーゲル)多様体が、レベルが十分大のときに一般型になることが知られていたが、これをレベルを付けない場合に考え、四元数体の判別式が十分大のとき、数論的多様体が一般型であることを示した。また有限体上の2次特殊線形群のヒルベルト尖点形式の空間における表現を考え、正則レフシェッツ公式を用いて、ヘッケ-齊藤の結果を3変数の場合に拡張した。(浜畑)

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1996年 - 1996年

課題番号：08454030

配分額：5600000円 （ 直接経費：5600000円 ）

本研究の目的は、「多変数特殊超幾何函数」の系統的探索を開始し、新しい特殊函数論の原型を構築することであった。これに対し、1.差分系の量子群対称性、2.合流型超幾何函数とHamilton系、3.配置空間の幾何学、4.表現論と積分変換-のそれぞれの観点から次のような成果を得た。
1.野海は、可換なq差分作用素族と量子群対称性に関連して、量子対称空間とその上の球函数の理論を展開し、可換なq差分作用素系の量子群による実現を与えるとともに、その同時固有函数であるMacdonald多項式の表現論的実現を与えた。
2.高野は、Grassmann多様体上の超幾何函数について、一般の確定型から合流型への退化の手続きに関する詳細な研究を行った。また、その非線形化にあたるPainleve型のHamilton系について、初期値空間の記述を行い、合流型への退化のメカニズムを解明した。
3.佐々木は、射影空間内の1個の非退化2次超曲面とn個の超平面の配置空間を考察し、それに付随する超切換積分の満たす微分方程式の決定、対称性の記述を行った。特に射影平面内の配置の場合にべき級数解と独立なサイクルの構成を行い、AppellのF_2,F_4との関係、ある種のK_3族との関係を解明した。
4.関口は、対称領域のPenrose変換の観点から、超幾何積分と超幾何微分方程式の高階化を考察し、ユニタリ表現の手法を用いて解空間の有限次元性を確立した。

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1996年 - 1996年

課題番号：08454018

配分額：4000000円 （ 直接経費：4000000円 ）

研究目的・研究実施計画にもとずいて研究代表者は次のような成果を得た。
1.結び目のAlexander不変量について、2 bridge knotsという幾何学的特徴を持つとき、係数の絶対値が中央に向かい増大するが、この係数の増大の仕方について評価式を与えた。
2.渋谷により、非自明な結び目の非自明なユニオンは素である,と示された事実をより一般的な設定のもとでタングルによる幾何構造の分析により示した。また、このときの除外例を具体的に示した。
これらの結果は出版された。
3.交差数最小の正則射影図ならば適切な一回の結び目解消操作で結び目が解消数がより小さい結び目の正則射影図になるかとの予想に対して、unknotting number one,2 bridge knotsのときは正しいことを示した。
4.結び目のΔ-unknotting numberをtorus knots,positive closed 3-braids,positive pretzel knotsなどの類で決定することに成功した。
5.偶数2nに対して、連続する2n個の交差の解消がAlexander不変量にどのような影響を与えるのかを究明することにより、Borromean ringsと成分数3の自明な絡み目がlink-homotopyと連続する4個の交差の解消の有限回の操作ではうつりあわないことを示すことに成功した。
これらの結果は受理されている。
また、国際集会Conference/Workshop for The Fifth MSJ International Research Instutute Knot Theory(早稲田大学,国際会議場.1996.7.22-31),The fifth Japan-Korea Seminar on Knots and Links(Korean Advansed Institute for Science and Technology,1997.2.17-20)においてもこれらの得られた研究業績にもとずいて講演した。
また、研究分担者もそれぞれの役割に従い、結び目の構造を位相的・幾何的・解析的・組み合わせ的・代数的に、また他分野との関連において研究を行なった。

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1995年 - 1996年

課題番号：07454028

配分額：5400000円 （ 直接経費：5400000円 ）

1.超幾何微分方程式について:(1)k-1次元複素射影空間内の1つの非退化2次曲面とn個の超平面に付随する超幾何積分が満たすべき方程式系を定め、その方程式系の対称性を求めた。(2)超幾何微分方程式系E(k,n)の同値問題を一般的に解いた。(3)合流型超幾何微分方程式をフックス型超幾何微分方程式から順次導くいわゆる合流操作の幾何的意味を明らかにした。
2.パンルヴェ方程式について:(1)各パンルヴェ系に付随する定義空間の間に、パンルヴェ方程式の合流と整合的な合流操作があることを示した。(2)第2、第4パンルヴェ方程式に付随するハミルトン系の不変因子を解析することにより、パラメータ空間へのアフィンワイル群の作用と古典解の関係を明らかにし、古典解以外の解の既約性を示した。
3.量子群とq特殊関数について:(1)量子複素射影空間のある族を、coidealの族に付随する量子等質空間として実現し、その帯球関数のAskey-Wilson多項式による表示を与えた。さらにこれを高階数の対称空間に拡張した。(2)Macdonald対称多項式の上昇演算子を具体的に構成し、その応用として(q,t)Kostka係数に対するMacdonaldの整数性予想を解決した。
4.パーコレーションについて:境界にランダムに+と-のスピンをばらまくと、境界に何もスピンを置かないときと同様のスペクトルギャップのオーダーが得られることを示した。
5.3次元射影空間内の曲面のアフィン的取り扱いが曲面の不変量が退化した場合も出来ることを示し、射影等質曲面を分類した。

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1992年 - 1996年

課題番号：04245105

配分額：69800000円 （ 直接経費：69800000円 ）

三輪と神保は質量0のXXZ模型のボゾン化を、実直線上のボゾンを使うやり方で実現し、楕円的量子群の極限がレベル1の表現として実現していることを示した.伊達はオンサーガ-代数の商構造をイジング模型とそれを含む超可積分カイラル・ポッツ模型について調べた.増田はqの絶対値1でかつコンパクト型の量子群について調べ、それが2次元の非可換トーラスの量子対称性を記述することを明らかにした.野海はマクドナルド多項式に関係する昇降演算子を構成し、整性予想を解決した.上野はqの絶対値が1の場合のqの絶対値が1の場合のq変形された超幾何函数と多重ガンマ関数、多重サイン関数の関係を調べ、積分公式を得た.稲見は4次元の非線型シグマ模型の対称性を検討しトロイダル代数が対称性の代数になっていることを発見した.柏原は量子群の有限次元既約表現について考察し、ドリンフェルトによる結果を精密化して、任意の既約表現はその因子をスペクトルパラメタの大きさの順序に並べたテンソル積の中に最高ウェイトベクトルを含む部分加群として実現されることを示した.梁は戸田格子のスペクトル曲線を仲立ちとして、2次元位相的共形場理論、4次元N=2のサイバーグ・ウィッテン解、さらにN=2の超弦双対性が結びつくことを明らかにした.土屋は共形場理論のN点の行列要素の全体をリー環で不変な部分を法とした空間で考えたときに退化したアフィンヘッケ環の表現空間としてとらえられることを示し、その指標公式を自由分解する予想を提出した.

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1995年 - 1995年

課題番号：07640043

配分額：2300000円 （ 直接経費：2300000円 ）

保型形式の研究の中で、種々の形のフーリエ展開(周期)や保型的L関数との関連で、球等質空間の球関数の重要性が認識されてきた。本研究では、主に一般線形群の球部分群に対する球関数を中心に研究した。これらの球関数はアフィンヘッケ環の構造論や表現論と深く結び付いているもので、保型的L関数と本質的関連があるものと期待される。この問題を議論するために定期的にしたセミナーを開催した。さらに以下のような研究を行った。
・量子対称空間上の、有限次元表現に付随する、球関数を調べ多くの場合これらがルート系に対応するMacdonald多項式を用いて記述されることを示した。また、BC_n型のAskey-Wilson多項式に対して、ヘッケ環を用いてこれらを同時固有関数にもつ可換なq差分作用素の族が構成できることを示した。(野海)
・超幾何関数の研究において、ツイストホモロジーやツイストコホモロジーの交点数の計算が重要であるが、高階の場合にこれらの計算方法を開発した。またq解析に現れるアフィンワイル群やアフィンヘッケ環などに対し、種々の実験を行うための数式処理系のための言語およびアルゴリズムを開発した。(高山)
・有理数体上階数1の数論的多様体の代数幾何的性質を調べた。不定符号四次元数体の極大orderから定まる離散的部分群の合同部分群による2次のSiegel上半平面の商は,四元数体の判別式が十分大きいとき、一般型であることを示した。また幾何種数が2以上のHilbert modular曲面を分類した。(浜畑)

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1994年 - 1995年

課題番号：06640111

配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

数理物理学における場の理論の手法を3次元多様体の幾何学の研究に応用し、無限次元の対象から、多様体の位相のみによる不変量を抽出する基本的な枠組みを構成した。3次元多様体上の接続全体の空間で定義されたChern-Simons関数の分配関数として位相不変量を定義する視点は80年代末にWittenによって与えられた。我々は、境界付き3次元多様体に関するChern-Simons理論と2次元共形場理論との関連を明らかにし、共形場理論をRiemann面のモジュライ空間上のベクトル束の接続の理論として、幾何学的に定式化することにより、Witten不変量をこの接続のホロノミーの立場からとらえた。さらに、このような観点から、Witten不変量によって、3次元多様体や結び目の古典的な位相不変量についてその下からの評価を得た。Chern-Simons関数の臨界点は平坦接続であり分配関数を臨界点のまわりで摂動展開することにより、Feynman図形に対応した位相不変量が得られる。このChern-Simons摂動理論をGreen形式の積分の立場から研究し、いわゆる有限型の位相不変量についてその積分表示を得た。また、境界付き3次元多様体のChern-Simons摂動理論の視点から、Riemann面上のコードダイアグラムの空間とその量子化、平坦接続のモジュライ空間のシンブレクティック幾何学との関連について新たな知見を得た。とくにトーラスの場合について、楕円型KZ方程式のホロノミーを研究し、これを用いて、トーラスと単位区間の直積内の結び目のVassiliev不変量を構成した。

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1994年 - 1995年

課題番号：06452009

配分額：6500000円 （ 直接経費：6500000円 ）

本研究課題は、微分方程式、特に完全積分可能系など,解析学に現れる変換群について,統一的な立場からの研究を行うことを目的としたものである。
特に,複素領域において定義された完全積分可能系の変換群を中心に,これまでの成果をまとめ,さらに新しい視点を得ることが目標である。今回の研究計画においては,微分方程式とくに複素領域において定義された完全積分可能系の変換群を調べ,その代数的な構造をあきらかにすることに力点を置いた。とくに,研究代表者を中心とする東京大学のグループでは,主として非線型完全積分可能系の解の構造を代数的に解明することを主要テーマとして研究を続けている。具体的には以下の3点である。
(1)特殊な型の偏微分方程式のみが,豊富な代数的な構造を許容する。その様な方程式の実例は,十分に知られているとはいえないので,これを組織的に構成すること。
(2)ガルニエ系を中心として,非線型完全積分可能系の変換群を構成すること,特にその非線型表現について調べること。
(3)数理物理学への応用が期待される完全積分可能系について,その変換群を構成する方法を発見し,特にその非線型表現について調べること。
変換群の解析学の立場からの研究,とくに,研究代表者の研究テーマである微分方程式の変換群の研究を推進するためには,まず代数的構造を明らかにすることが不可欠である。
本研究課題の推進は2年度にわたって行った。初年度である平成6年度は,とくに手法を制限せず,各研究分担者が各自の立場からの研究を行った。2年目の平成7年度には,このようないろいろな立場からの研究を取りまとめた。その際,研究代表者及び研究分担者は,それまでにえられた研究成果を,各研究機関において発表した。

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1994年 - 1994年

課題番号：06835003

配分額：1800000円 （ 直接経費：1800000円 ）

本研究の目的は、あるクラスの高次元ソリトン方程式について、解の挙動を解析的および数値的に調べることにより、その数学的な構造を明らかにし、ソリトン理論の拡張をはかることである。この目的に対して以下の成果を得た。
1.磁場がかかったプラズマ中のイオン波の高次元挙動を調べ、その系がDavey-Stewartson方程式で記述されること、またあるパラメータ領域でドロミオン解を持つことを明らかにした。この結果はプラズマ中における高次元局在波の存在可能性を指摘したもので、応用上重要であるだけでなく、理工学の広い分野で同様の高次元波の存在を期待させる契機を与えるものである。
2.2次元戸田方程式と関連して、適当なリダクションのもとでのその解が、離散型パンルヴェ方程式の解と密接に関係することを明らかにした。格子型の解は連続極限で特殊関数解に移行するのに対して、分子型の解は連続極限でその構造が壊れてしまうが、この結果は離散系におけるソリトン理論に新しい知見を与えるものである。
3.2成分KPヒエラルキーに含まれる非線形シュレディンガー型方程式および微分型非線形シュレディンガー方程式に対して、その双線形構造を調べ、解空間に対する考察を行った。その結果、解空間の対称性がアフィン・リー環で明瞭に表されること、また物理的な解に要請される条件がアフィン・リー環の実形と密接に対応していることを示した。この結果はソリトン方程式および解の代数構造についてやはり新しい知見を与えるものである。

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1994年 - 1994年

課題番号：06640017

この研究では、多変数の超幾何関数の群論的な構造を研究の主題としている。ゲルファンドによる超幾何型のホロノミック偏微分方程式系の発見により、ガウスの超幾何関数はグラスマン多様体上の多変数の超幾何関数に拡張され、これらの関数の持つ変換公式と隣接関係が一般線形群の作用から自然に定義されることが判明した。その結果として、従来知られていたガウスの超幾何関数の場合にも新しい観点が生まれたと考えられる。その例としてI変数超幾何関数のq-類似関数について、その隣接関係を定めるq-差分作用素の計算が可能となり、それらの作用素全体がSL(4)の量子展開環をなすことが判明したのであった。さらにその発展として、ゲルファントの定義したグラスマン多様体上の超幾何関数の場合の隣接関係が一般線形群GL(n)の作用で説明できることに注目して、それを拡張した形でq-類似の場合にも隣接関係を与える差分作用素を定めることができた。これらの作用素の全体は対応する量子群の表現を与えるものである。
もう一つの興味深い場合として、シンプレクチック群Sp(2n)に対応する場合が考えられる。この場合には交代形式のある2n次元ベクトル空間を考え、そのラグランジアン部分空間の作るグラスマン多様体の上で定義される関数で超幾何形のホロノミック系をみたすものを考えるわけである。qがつかない場合にはその隣接関係を与える微分作用素の計算はできていたのであるが、本年はそのq-類似の場合の計算を遂行してほぼ満足すべき結果を得た。ここでもC型のディンキン図形に対応する量子展開環が現れることがほぼ確実である。

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1993年 - 1993年

課題番号：05836008

配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

本研究の目的である離散型ソリトン方程式の解析に関して、以下の成果を得た。
1)「特異性の閉じ込め」性に関連して現れる離散型パンルベ方程式のうち、2型のものについて、離散型特殊関数で表される新しい解を提案した。解は行方向と列方向で構造が異なる行列式で表されており、離散系特有の性質を持っている。また、解を構成する手法は他の離散型パンルベ方程式にも適用可能で、1型、3型について予備的な結果を得ている。とくに、3型の方程式では、q-離散系との関係が明らかになっている。
2)代表的な離散型ソリトン方程式である戸田格子方程式を相対論的に拡張したものに対し、その解がカソラチ行列式で与えられることを示した。その解の特別な場合として、Nソリトン解が含まれている。この結果は、戸田方程式と関連したさまざまなソリトン方程式の相対論化に応用することが可能である。
3)離散的なτ函数の理論における戸田方程式系列を利用して、非線形シュレディンガー方程式とSIT方程式が結合した系に対する厳密解を構成した。得られたソリトン解は非対称に振動するという特徴を持っており、実験との対応も期待される。またこの結果は、principal chiral field方程式などの解の構成にも応用することができる。
4)行列の固有値問題におけるQR分解法とソリトン方程式の関連を調べ、その中から新しいタイプのLotoka-Volterra方程式を導出し、その解について検討を加えた。この方程式は、それぞれの種が最近接の種だけでなく、遠方の種とも相互作用している生態系を表している。また、有限系の場合の初期値問題は、QR分解法を用いて厳密に解くことができる。

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1993年 - 1993年

課題番号：05640154

配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

本研究課題は,微分方程式とくに複素領域において定義された完全積分可能系の変換群を調べ,その代数的な構造をあきらかにすることが目標である。非線形完全積分可能系の中心的な役割を果たす2変数戸田方程式は,歴史的には古典的な曲面の変換論として19世紀末にダルブーにより見いだされたが,現代の数理物理学の観点からこの仕事を見直すことはなされていなかった。研究代表者は,この古典的曲面論の変換の理論,特にベックルント変換と梯子構造を不変にする変換の関係,という幾何学的研究を進め成果を得て,研究会などで発表した。現在論文を準備中であり,本年中に発表する予定である。
また,線形方程式の変形理論の立場から,トーラス上の完全積分可能系についても研究を進め,いくつかの結果を得た。この成果は最近口頭発表したところであり,これについても論文を準備中である。
完全積分可能系は広範な数学の分野と関連しており,研究協力者によりそれぞれの立場から研究が進められ成果が得られた。その主なものを報告する。量子群の表現論は,完全積分可能系のq-アナローグを追求するものであり,重要な研究課題である。この立場から研究を進めた。完全積分可能系の解析学を進めるためには偏微分方程式の解の構造を明らかにすることが必要となるが,この点について金子晃は熱方程式等について結果を得た。また。コンフィギュレイション空間上の超幾何関数の理論との関連を追求するという立場から,木村弘信は合流型超幾何関数について重要な結果を得た。

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1993年 - 1993年

課題番号：05640014

配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

本年度の研究では、代数多様体の構造の研究、および多変数の超幾何関数の群論的な構造の研究において進展を見た。
まず、代数多様体の構造では6次曲面の大域変形を決定した論文を完成、投稿して出版した。引き続き、種数3のペンシルを持つ曲面の構造の研究の完成を目指している。
後者の超幾何関数については、パラメーターを上げ下げした場合の隣接関係の観点から、これらの関数にはたらく対称性をリー群・リー環との関連でとらえることに興味を持ち、その立場からの研究を続けた。ゲルファントの定義したグラスマン多様体上の超幾何関数の場合の隣接関係が一般線形群GL(n)の作用で説明できることに注目して、それを拡張した形でq-類似の場合にも隣接関係を与える差分作用素を定めることができた。これらの作用素の全体は対応する量子群の表現を与えるものである。同様の関係がシンプレクチック群Sp(2n)の場合にも発見できることを予想していたが、本年の研究によって最終的な結果を得た。現在論文を作成中である。これはガウスの1変数超幾何関数でパラメーターが特別な関係を持つ場合を含みその点からも興味深いものである。
さらにシンプレクチックの場合にもq-類似が存在することが期待されるので、このようなqつきべき級数の定義、それのみたす差分方程式系、およびそれらの隣接関係を研究し、Spの場合の量子展開環との関連を明らかにすることが次年度以降の研究で期待される。
超幾何関数の研究は種々の専門が交差する分野にあたり、研究協力者からのサジェスションが有益であった。特に協力者の木村弘信は合流型の超幾何関数について類似の研究を行い、野海正俊はより抽象的に量子群の立場から隣接関係をとらえる研究を行った。

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1991年 - 1993年

課題番号：03640073

配分額：1800000円 （ 直接経費：1800000円 ）

共形場理論における相関函数のモノドロミ-表現の構造を研究し,得られた組みひも群,リーマン面の写像類群の表現と量子群,準ホップ代数との関連を明らかにした.また,これを用いて,3次元多様体の位相不変量を構成し,ウィッテンが,チャーン・サイモンズゲージ理論における分配函数として提唱した位相不変量について,数学的に厳密に定式化した.モノドロミ-表現のユニタリ性を,超幾何函数,局所系のコホモロジーの交叉理論によって証明し,応用として,3次元多様体のヘ-ガード種数,結び目のトンネル数など,古典的な不変量の下からの評価を与えた.さらに,KZ方程式のモノドロミ-表現に関する成果をバシリエフ不変量に応用し,ドラムホモトピー理論の手法を展開することにより,純組みひも群の降中心列が,バシリエフ不変量によるフィルトレーションと一致すること,さらに,純組みひもが,バシリエフ不変量によって完全に分類されることを証明することができた.バシリエフ不変量は,結び目全体の空間の0次のコホモロジーの研究に由来しているが,高次のコホモロジーについても,グラフ複体とよばれる概念を用いて,結び目全体のなす無限次元空間上のドラム複体を記述する手法を与えた.これを用いてチャーンサイモンズ摂動理論に示唆された,バシリエフ不変量,結び目の空間のコホモロジー類について,コンフィギュレーション空間上の積分としての表示を与えることができた.ここにあらわれるグラフは,チャーンサイモンズ摂動理論において準古典近似を行う際に登場するファインマン図形であり,無限次元的な手法で得られた位相不変量の具体的な記述を与えている.また,これらのグラフは,リーマン面のモジュライ空間のセル分割にもあらわれるものであり,両者の関係を明らかにすることは,今後の重要なテーマであると考えられる.

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1992年 - 1992年

課題番号：04640130

配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

科学研究費補助金(一般研究C)「スペクトル・散乱理論の研究」によって得られた成果を箇条書きにする。
1.多体Schroedinger作用素の散乱問題において波動作用素の完全性に関して北田均等によって短距離系に対する波動作用素の完全性の新たな証明が得られ,遠距離系に対する完全性の証明にも重要な進展があった。
2.Schroedinger作用素の散乱・resonanceの問題に関して,resonanceのおよびtime-delayの準古典近似の問題が中村周等によって研究され準古典領域におけるresolvent等の振る舞い明確にされた
3.Schroedinger作用素の波動作用素あるいはSchroedinger作用素の関数のSobolev空間あるいはBesov空間における写像としての性質が中村周,谷島賢二等によって研究され,種々の空間の間の有界性等多くの性質が明らかになった。これらの研究は非線形微分方程式のこれからの研究に大いに役立つものと期待される。
4.スペクトルの逆問題に関連した研究が薩摩順吉等によって進められ,soliton方程式,非線形波動方程式のの解の構造,あるいは完全積分系に関する多くの新たな知見が得られた。
5.スペクトルの数値解析に関連して有限要素法の数値解析の研究が菊地文雄,金子晃等によって進められ,多くの新たな知見が得られた。
6.その他,分担者たちは多くの関連した研究を進展させた。主なものは野海正俊による量子群の研究,小林俊行による非可換調和解析の研究,山崎満によるBoltzmann方程式の研究,木村弘信による超幾何関数の研究及び太田啓史・古田幹雄による多様体の微分構造の研究等である。

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1991年 - 1991年

課題番号：03640127

配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

本研究では、特殊函数と代数構造の結びつきに関し、いくつかの新たな側面を開拓した。本研究で得た成果の一部と、その現在の状況は下の通りである。
1:野海は、特殊函数のqーanalogueの立場から、量子群上の等質空間の球函数に関する研究を行った。文献1は、Jacobi多項式の多様なqーanalogueと量子群SU_q(2)上の等質空間との本質的な関連を論じたものである。多変数の特殊函数に関連しても、等質空間GL(n)/SO(n),GL(2n)/Sp(2n)の量子群analogueを考察し、その帯球函数がMacdonald対称多項式の幾何学的実現を与えることを発見した(論文準備中)。
2:また、量子群上の代数解析の基礎付けという観点から、量子一般線型群上で微分作用素の対応物を構成し、それに対するCapelli恒等式を得た(文献3)。Capelli恒等式は、Lie環の包絡環の中心元と不変微分作用素の関係を明示し、古典的不変式論と特殊函数論を結びつける重要な役割を演じてきたものである。
3:堀川は、Grassmann多様体に付随するGelfand超幾何函数の隣接関係の対称性を研究した(文献4)。更にその立場から、Gaussの超幾何級数のqーanalogueを考察し、その隣接関係として量子群GL_q(4)の対称性が現れることを発見した(文献5)。堀川及び野海は現在、これを量子Grassmann多様体によって意味付けし、多変数に拡張する研究を行っている。
4:木村は、多時間変数の確定特異点型Hamilton系の特異点の周りの標準形を考察し、Painleve超越函数の多変数への拡張であるGarnier方程式系の解に対し、特異点の周りでの挙動を調べることに成功した(文献6)。また、Gelfand超幾何函数に対しても、その合流に関する研究を現在行っている。

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1990年 - 1991年

課題番号：02452006

配分額：5700000円 （ 直接経費：5700000円 ）

金子晃は来日した外国人研究者と共同で緩増加超函数の空間に働くたたみ込み作用素の可逆性の問題に著しい進歩を得た。またその後大学院生と協力してたたみ込み方程式の差分解法に一定の成果を挙げた.難波完爾は代数曲線のゼ-タ函数の零点の角分布に関する佐藤予想の研究を精力的に行ってきたが最近ある種の曲線についてガウス超幾何函数の有限体アナロジ-ブ記述できる興味深い現像を発見し論文にまとめた。堀川穎二はゲルファントの超幾何函数の隣接関係を新しい観点からとらえ直し、リ-環との関連を明らかにして従来の理論を非常に見透し良いものにした.谷島賢二は有限個の運動する電荷によって誘導された電磁場内にディラック粒子に対するディラック方程式の解が電荷の速度がある値を越えないとき一意的に存在し、プロパゲ-タは指数1のソボレフ空間を保存することを示した.また長距離ポテンシァルを持つ一次元シュタルクハミルトニアンの散乱理論を論じ、時間が無限に経過したとき漸近的に古典軌道を表現する修正プロパゲ-タを定義して修正波動作用素の存在と完全性を証明し、それまで論争のあったシュタルクハミルトニアンに対する古典力学的散乱理論と量子力学的散乱理論の間の食い違いの問題を解決した.北田均は多体短距離力を持つシュレ-ディンガ-作用素に対する波動作用素の漸近的完全性をエンヌの超局所的漸近評価とム-レの評価のみを用いてわかり易い証明を与えた.更にこの方法を拡張して多体長距離力の場合に漸近的完全性の成り立つための必要十分条件を与えた.伊藤博は2次特殊線型群のある法8の部分群に関連した指標写像について、オ-ダ-と導手に関する指定条件を満たすものの存在を証明し虚二次体の整数論への応用を与えた.

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1990年 - 1990年

課題番号：02640017

配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

本年度の研究では、6次曲面の変形の決定、種数3の曲線ペンシルの構造の研究、グラスマン多様体上の超幾何関数の研究、および量子群と関連した特殊関数のqーアナロ-グについて研究を行ない多くの目覚ましい成果を得た。
1.6次曲面の変形.射影平面内の非特異6次超曲面の変形として得られる可能性のある曲面の構造を完全に決定し、それらが実際6次曲面の変形であることを構成的に証明した。この結果このクラスの曲面の可微分多様体の上の複素構造の全体のモデュライ空間は既約であることが示された。これは一般型の曲面の例としては初めてである。この結果は曲面上のラインバンドルで標準バンドルの1/2であるものの定める有理写像を詳しく調べることによって得られる。このとき最も本質的かつ困難であるのは、この写像が種数3のペンシルになる場合である。この困難を克服することにより副産物として種数3のペンシルの構造の研究に対しても新しい対見が得られた。これを発展させて種数3のペンシルの一般的な構造の研究が近い将来に可能となるであろう。
2.超幾何関数の研究。I.M.ゲルファンドと共同研究者によって精力的に研究されている一般化された超幾何関数についてリ-環的な見地からその変換法則と隣接関係を明らかにした。これらは従来の結果を非常に簡明で構造的な立場から解明したものである。
3.研究分担者野海正俊は名古屋大学の三町勝久と共同で量子群を通して特殊関数のqーアナロ-グを研究してアスキ-・ウイルソン多項式と量子群の表現との関係を明らかにした。これは将来2.の超幾何関数との関連する研究に発展が期待されるものである。

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1989年 - 1989年

課題番号：01740109

配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

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1989年 - 1989年

課題番号：01540074

配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

1.シロフ境界の因果構造の研究(金行)。柱状対称有界領域D(次元>1)のシロフ境界Sに、或自己共役錐体をモデルとする因果構造を導入した。そしてその自己同型群を決定した。この群の作用はDの内部へのびてDの金正則変換郡を与へしかもそれで一杯であることを示した。2.擬ケ-ラ-アフィン対称空間の研究(金行)。Kε型の擬ケ-ラ-単純既約対称空間(7つある)を階別り一環を用いて統一的に構成しその正則埋込を作った。これによりこの種の対称空間のある稠密開集合は、拡張されたいみのジ-ゲル領域として実現できることを示した。前年度に研究したジョルダン代数に対するシルヴェスタ-の慣性律が証明に使われる。3.クラスL(=射影直線の近傍と正則同値な領域を含む)3次元複素曲面の構造の研究(加藤)。4.複素射影接続をもつ複素多様体にワイルの射影曲率テンソルを用いて新しい特性形式を導入した。そしてチャ-ン特性形式との関係を調べた(加藤)。5.トロイダルリ一環とヴァ-テックス表現の研究(横沼)。C[s,s^<-1>,t,t^<-1>]【cross product】〓(〓は複素単純り一環)の普遍中心拡大の、ヴァ-テックス作用素を用いた表現の構成(横沼)。6.特異点をもつ線型微分方程式に対してかなり一般的条件の下で局所可解性空理を示した(田原)。7.Briot-Bouguet型特異点をもつ非線型偏微分方程式のすべての解の決定(田原)。8.Gevrey級の発散形式解の研究とMaillet型定理の一般化(田原)。9.量子等質空間SU_q(n+1)/SU_q(n)上の帯球函数の研究(野海)。10.2次元量子球面と大gヤコビ多項式についての研究(野海)。

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1988年 - 1988年

課題番号：63740103

配分額：1000000円 （ 直接経費：1000000円 ）

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1987年 - 1987年

課題番号：62740106

配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

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1986年 - 1986年

課題番号：61740102

配分額：1000000円 （ 直接経費：1000000円 ）

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