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1997年4月 - 2001年3月

資金種別：競争的資金

個人研究

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1998年 - 2000年

課題番号：10440001

配分額：6100000円 （ 直接経費：6100000円 ）

本研究では、対称対についての研究を行った。対称対は、リー群および代数群の研究において基本的な対象である。群Gと位数2の自己同型σが対称対を与える。古典型単純リー群も、基礎体の標数が2ではないときには、一般線形群を元に、位数2の自己同型の不変元全体として定義される。したがって、標数が2ではないときには、単純リー群は有限個の例外を除いて、一般線形群の対称対として理解することができる。
1)対称対の基礎理論。標数2の体の上でも、リーマン対称多様体に相当する理論が構成できることがわかった。佐武図式も定義される。標数2の体上では、位数2の自己同型の共役類の数が一般には増えることが知られている。その理由もルート系の言葉で理解することができることがわかった。
2)整数環上のスキームとしての対称多様体の構成。整数環に1/2を付加した環の上での対称多様体のモデルの構成は比較的容易であるが、ここでは整数環上のスキームとしての構成ができることがわかった。
3)対称多様体のコンパクト化の構成。対称多様体のコンパクト化のモデル(群Gが随伴型であるという仮定のもとに)整数環上のスキームとして構成できることがわかった。応用としては、標数2の体上では、5個の2次曲線と接する2次曲線の数が51と、標数が2ではないときの1/64となっていることの説明がある。
4)ルスティックによって定義された指標層に対してラングランズ対応を定義することができることがわかった。群ではなく、より一般の対称対に対してもラングランズ対応を研究することは、ジャッケの相対跡公式ともあわせて大変興味がある問題である。
5)対称対と整数論の関係。対称対に関連して、エプシュタインのゼータ関数が定義され、その特殊値についての結果が得られた。また、群と対極にある対称対に付随して、楕円曲線の族があらわれる。楕円曲線の族に関する結果も得られた。
6)数理物理との関係。対称対としてあらわれるアフィンリー環についての知見が得られた。

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1997年 - 1999年

課題番号：09640298

配分額：3500000円 （ 直接経費：3500000円 ）

本研究の短期的な目的は、くりこみ力学系の軌道の大局的構造の追跡という観点からフラクタル上の確率モデルの等方性の回復の研究を進めることであるが、究極の目標は、数理物理学、特に場の量子論におけるくりこみ群の方法を念頭に置いて、確率モデルの漸近的性質の解析手段の手がかりを見いだすことである。
本研究期間の主要な研究成果は以下の通りである。
1 Sierpinski gasket上の漸近一次元拡散に関するくりこみ群による解析を、abc-gaskets及びscale-irregular abb-gasketsに拡張した。これらは局所的に非等方な拡散が大局的に別の方向に一次元的に拡散するという意味で等方性の回復が起こらない例、および、完全な自己相似性を欠く例である。同様の解析を、より難しいinfinitely ramified fractalの典型例Sierpinski carpetの非等方拡散に適用して等方性の弱い回復を証明した。
2 場の量子論の特徴的な数理現象としてのchiral U(1)anomalyを第一原理から導出した。Wilson項を持つ格子場の量子論の連続極限として厳密に証明したのは世界で初めてである。
3 Y.Kasaharaによるタウバー型定理を援用して独立確率変数列の重み付きの和に関する極限定理を導き、これをゼータ関数の値分布の具体的漸近評価に応用した。
4 2N-2個の実バラメーターを持つface modelに対するYang-Baxter方程式のelliptic solutions,およびこのface modelとBelavinのZ_N-symmetric vertex modelのintertwining relationを得た。

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1996年 - 1996年

課題番号：08640252

配分額：500000円 （ 直接経費：500000円 ）

本研究の目的は,フラクタル特にSierpinski carpetに代表されるinfinitely ramified fractals.の上の非等方拡散の等方性の回復を調べることであった。
この問題は,フラクタル上の拡散の一意性やhomogeniz ationの問題の解決に必要な要素として知られる重要な問題であり,finitely ramified fractalに関しては著者を含めて多くの結果が得られていたが,infinitely ramified fractalsでは問題が格段に難しくなる.Fini tely ramified fractalsと同様,infinitely ramified fractalsでも等方性の完全な回復を予想するが,現時点では困難な問題であるので,パラメータについて一様な漸近的評価(弱い意味の等方性の回復)を目標とした。
前フラクタル図形(最小単位を持ち,拡大する方向に自己相似な図形)の一つ,pre-Sierpinski carpetの上の非等方拡散を考える.この拡散の漸近的性質を特徴づける有効抵抗は,非等方拡散の場合はx軸方向とy軸方向で異なり,その比が非等方性を測る一つの重要な量となる.Pre-Sierpinski carpetをSierpinski carpetに近づけていくときの有効抵抗の比が漸近的に有界であることを本研究で証明し,これによって,等方性の弱い意味での回復が証明できた.
証明は,フラクタルに特徴的な自己相似性を生かして,問題を再帰不等式に帰着させて完成した.この再帰不等式は有効抵抗を変分問題によって表現したときの試行関数を再帰的に構成することで証明した。より簡単な境界条件に対応する二つの調和関数を適切に組み合わせて,本来問題となる境界条件に対応する変分問題の試行関数を得た。

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1996年 - 1996年

課題番号：08640069

配分額：1500000円 （ 直接経費：1500000円 ）

1.ヤコビー形式に付随したKoecher-Maassのディリクレ級数を構成し、その解析接続を得、関数等式を証明した。またヤコビー形式の空間と密接な関係にある半整数保型形式の空間のCohenのアイゼンシュタイン級数を導入し、そのSiegelの公式を求めた。半整数保型形式に付随するKoecher-Maassのディリクレ級数についても、ヤコビー形式の場合の結果を用いて、その関数等式などを得た。
2.概均質ベクトル空間のゼータ関数をアイゼンシュタイン級数の周期積分として表現することを研究し、2次形式のゼータ関数などの場合にHecke-Siegelの公式の拡張にあたるものを得た。
3.P進数体Kの上で定義され、一般化された積分で表示されたP-進関数が、解析関数であるための条件を、被積分関数とdistributionの言葉で表わした。
4.多重ゼータ値に密接に関係する多重ゼータ関数の積分表示を研究し、多重ゼータ値の間の新しい関係式を得た。

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資金種別：競争的資金

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資金種別：競争的資金

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